Cómo calcular el área de un paralelogramo construido sobre vectores

En cualquiera de los dos vectores no colineales y no cero, se puede construir un paralelogramo. Estos dos vectores contraerán un paralelogramo si combina su origen en un punto. Termina los lados de la figura.

Manual de instrucciones

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Encuentra las longitudes de los vectores si se dan sus coordenadas. Supongamos, por ejemplo, que el vector A tiene coordenadas (a1, a2) en el plano. Entonces la longitud del vector A es | A | = √ (a1² + a2²). Del mismo modo, encontramos el módulo del vector B: | B | = √ (b1² + b2²), donde b1 y b2 son las coordenadas del vector B en el plano.

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El área del paralelogramo se encuentra mediante la fórmula S = | A | • | B | • sin (A ^ B), donde A ^ B es el ángulo entre los vectores A y B. El seno se puede encontrar a través del coseno utilizando la identidad trigonométrica básica: sin²α + cos²α = 1) El coseno se puede expresar en términos del producto escalar de vectores escritos en coordenadas.

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El producto escalar de un vector A por un vector B se denota por (A, B). Por definición, es igual a (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). Y en coordenadas, el producto escalar se escribe así: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Desde aquí podemos expresar el coseno del ángulo entre los vectores: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). En el numerador, el producto escalar; en el denominador, las longitudes de los vectores.

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Ahora podemos expresar el seno a partir de la identidad trigonométrica principal: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Si suponemos que el ángulo α entre los vectores es agudo, el signo negativo con el seno puede descartarse, dejando solo el signo más, ya que el seno del ángulo agudo solo puede ser positivo (o cero en ángulo cero, pero aquí el ángulo no es cero, esto se muestra en la condición no colinealidad de vectores).

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Ahora necesitamos sustituir la expresión de coordenadas para el coseno en la fórmula sinusoidal. Después de esto, solo queda escribir el resultado en la fórmula del área de paralelogramo. Si se hace todo esto y la expresión numérica se simplifica, entonces resulta que S = a1 • b2-a2 • b1. Así, el área del paralelogramo construido en los vectores A (a1, a2) y B (b1, b2) se encuentra por la fórmula S = a1 • b2-a2 • b1.

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La expresión resultante es el determinante de la matriz compuesta por las coordenadas de los vectores A y B: a1 a2b1 b2.

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De hecho, para obtener un determinante de una matriz de dimensión dos, es necesario multiplicar los elementos de la diagonal principal (a1, b2) y restar de esto el producto de los elementos de la diagonal lateral (a2, b1).