Como resolver ecuaciones con raíces
Vídeo: ECUACIONES CON RADICALES - Ejercicio 6 2024, Julio
Algunas veces en las ecuaciones hay un signo de la raíz. A muchos estudiantes les parece que es muy difícil resolver tales ecuaciones "con raíces" o, más correctamente, ecuaciones irracionales, pero esto no es así.
Manual de instrucciones
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A diferencia de otros tipos de ecuaciones, por ejemplo, sistemas de ecuaciones cuadráticos o lineales, no existe un algoritmo estándar para resolver ecuaciones con raíces, o más precisamente, ecuaciones irracionales. En cada caso particular, es necesario seleccionar el método de solución más adecuado en función de la "apariencia" y las características de la ecuación.
El aumento de partes de la ecuación al mismo grado.
Muy a menudo, para resolver ecuaciones con raíces (ecuaciones irracionales), se utiliza la elevación de ambos lados de la ecuación en el mismo grado. Como regla, en un grado igual al grado de la raíz (al cuadrado para raíz cuadrada, cubo para raíz cúbica). Debe tenerse en cuenta que al elevar los lados izquierdo y derecho de la ecuación en un grado uniforme, puede tener raíces "extra". Por lo tanto, en este caso, uno debe verificar las raíces obtenidas al sustituirlas en la ecuación. Se debe prestar especial atención en la resolución de ecuaciones con raíces cuadradas (pares) al rango de valores admisibles de la variable (ODZ). A veces, la estimación del ODL solo es suficiente para resolver o simplificar significativamente la ecuación.
Un ejemplo Resuelve la ecuación:
√ (5x-16) = x-2
Cuadramos ambos lados de la ecuación:
(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², de donde obtenemos sucesivamente:
5x-16 = x²-4x + 4
h²-4x + 4-5x + 16 = 0
h²-9x + 20 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática obtenida, encontramos sus raíces:
x = (9 ± √ (81-4 * 1 * 20)) / (2 * 1)
x = (9 ± 1) / 2
x1 = 4, x2 = 5
Al sustituir ambas raíces encontradas en la ecuación original, obtenemos la igualdad correcta. Por lo tanto, ambos números son soluciones de la ecuación.
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Método para introducir una nueva variable.
A veces es más conveniente encontrar las raíces de una "ecuación con raíces" (una ecuación irracional) introduciendo nuevas variables. De hecho, la esencia de este método se reduce simplemente a un registro más compacto de la solución, es decir. en lugar de escribir una expresión voluminosa cada vez, se reemplaza por una leyenda.
Un ejemplo Resuelve la ecuación: 2x + √x-3 = 0
Puedes resolver esta ecuación al cuadrar ambos lados. Sin embargo, los cálculos en sí mismos parecerán bastante engorrosos. Con la introducción de una nueva variable, el proceso de decisión resultará mucho más elegante:
Introducimos una nueva variable: y = √ x
Luego obtenemos la ecuación cuadrática ordinaria:
2y² + y-3 = 0, con variable y.
Resolviendo la ecuación resultante, encontramos dos raíces:
y1 = 1 e y2 = -3 / 2, sustituyendo las raíces encontradas en la expresión por la nueva variable (y), obtenemos:
√ x = 1 y √ x = -3 / 2.
Como el valor de la raíz cuadrada no puede ser un número negativo (si no toca el área de los números complejos), obtenemos la única solución:
x = 1.