Como resolver sistemas de ecuaciones
No es difícil resolver el sistema de ecuaciones utilizando los métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de sustitución y el método de suma.
Manual de instrucciones
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Consideremos métodos para resolver un sistema de ecuaciones usando un ejemplo de un sistema de dos ecuaciones lineales que tiene dos valores desconocidos. En términos generales, dicho sistema se escribe de la siguiente manera (a la izquierda, las ecuaciones se combinan con un corchete):
ax + b = c
dx + ey = f, donde
a, b, c, d, e, f son los coeficientes (números específicos), y x e y, como de costumbre, son desconocidos. Los números a, b, c, d se llaman coeficientes para incógnitas, y c y f se llaman términos libres. La solución a dicho sistema de ecuaciones se encuentra por dos métodos principales.
La solución del sistema de ecuaciones por el método de sustitución.
1. Tomamos la primera ecuación y expresamos una de las incógnitas (x) en términos de los coeficientes y la otra incógnita (y):
x = (s-by) / a
2. Sustituya la expresión obtenida por x en la segunda ecuación:
d (c-by) / a + ey = f
3. Resolviendo la ecuación resultante, encontramos la expresión para y:
y = (af-cd) / (ae-bd)
4. Sustituya la expresión resultante para y en la expresión para x:
x = (ce-bf) / (ae-bd)
Ejemplo: necesitas resolver un sistema de ecuaciones:
3x-2y = 4
x + 3y = 5
Encuentre el valor de x de la primera ecuación:
x = (2y + 4) / 3
Sustituya la expresión resultante en la segunda ecuación y obtenga una ecuación con una variable (y):
(2y + 4) / 3 + 3y = 5, de donde obtenemos:
y = 1
Ahora sustituimos el valor encontrado de y en la expresión por la variable x:
x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2
Respuesta: x = 2, y = 1.
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La solución del sistema de ecuaciones por el método de suma (resta).
Este método se reduce a multiplicar ambos lados de las ecuaciones por números (parámetros) de modo que, como resultado, los coeficientes de una de las variables coincidan (posiblemente con el signo opuesto).
En el caso general, ambos lados de la primera ecuación deben multiplicarse por (-d), y ambos lados de la segunda ecuación por a. Como resultado, obtenemos:
-adx-bdу = -cd
adx + aey = af
Sumando las ecuaciones resultantes, obtenemos:
-bdu + aeu = -cd + af, de donde obtenemos la expresión para la variable y:
y = (af-cd) / (ae-bd), sustituyendo la expresión para y en cualquier ecuación del sistema, obtenemos:
ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?
de esta ecuación encontramos el segundo desconocido:
x = (ce-bf) / (ae-bd)
Un ejemplo Resuelve el sistema de ecuaciones sumando o restando:
3x-2y = 4
x + 3y = 5
Multiplica la primera ecuación por (-1) y la segunda por 3:
-3x + 2y = -4
3x + 9y = 15
Sumando (término por término) ambas ecuaciones, obtenemos:
11y = 11
¿Dónde obtenemos?
y = 1
Sustituimos el valor obtenido por y en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo, en la segunda, obtenemos:
3x + 9 = 15, de donde
x = 2
Respuesta: x = 2, y = 1.