Cómo encontrar el área de un segmento circular

Uno de los problemas geométricos comunes es calcular el área de un segmento circular: la parte de un círculo delimitada por un acorde y el acorde correspondiente de un arco de círculo.

El área del segmento circular es igual a la diferencia entre el área del sector circular correspondiente y el área del triángulo formado por los radios del segmento correspondiente del sector y el acorde que limita el segmento.

Ejemplo 1

La longitud del acorde que contrae un círculo es igual al valor de a. La medida del grado del arco correspondiente al acorde es de 60 °. Encuentra el área del segmento circular.

Solución

Un triángulo formado por dos radios y un acorde es isósceles, por lo que la altura dibujada desde la parte superior del ángulo central hacia el lado del triángulo formado por el acorde también será la bisectriz del ángulo central, dividiéndolo por la mitad y la mediana, dividiendo por la mitad el acorde. Sabiendo que el seno del ángulo en un triángulo rectángulo es igual a la relación del lado opuesto a la hipotenusa, podemos calcular el radio:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

El área del sector correspondiente a un ángulo dado puede calcularse mediante la siguiente fórmula:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

El área del triángulo correspondiente al sector se calcula de la siguiente manera:

S ▲ = 1/2 * ah, donde h es la altura dibujada desde la parte superior del ángulo central hasta el acorde. Según el teorema de Pitágoras, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

En consecuencia, S ▲ = √3 / 4 * a².

El área del segmento, calculada como Sseg = Sc - S ▲, es igual a:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Sustituyendo un valor numérico en lugar de a, puede calcular fácilmente el valor numérico del área del segmento.

Ejemplo 2

El radio del círculo es igual a a. La medida en grados del arco correspondiente al segmento es de 60 °. Encuentra el área del segmento circular.