Cómo encontrar la mediana de un triángulo rectángulo
Vídeo: Mediana en un triángulo rectángulo 2024, Julio
Determinar la mediana de un triángulo rectángulo es una de las tareas básicas en geometría. A menudo, su hallazgo actúa como un elemento auxiliar en la solución de alguna tarea más compleja. Dependiendo de los datos disponibles, la tarea se puede resolver de varias maneras.
Necesitarás
libro de texto de geometría.
Manual de instrucciones
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Vale la pena recordar que un triángulo es rectangular si uno y sus ángulos son 90 grados. Y la mediana es un segmento bajado desde la esquina del triángulo hasta el lado opuesto. Además, lo divide en dos partes iguales. En un triángulo rectángulo ABC, en el que el ángulo ABC es recto, la mediana BD, pubescente desde el vértice del ángulo recto, es igual a la mitad de la hipotenusa AC. Es decir, para encontrar la mediana, divida el valor de la hipotenusa en dos: BD = AC / 2. Ejemplo: suponga que en un triángulo rectángulo ABC (ABC-ángulo recto), se conocen los valores de las patas AB = 3 cm, BC = 4 cm., encuentre la longitud de la mediana de BD caída desde el vértice del ángulo recto. Solución:
1) Encuentra el valor de la hipotenusa. Según el teorema de Pitágoras, AC ^ 2 = AB ^ 2 + BC ^ 2. Por lo tanto, AC = (AB ^ 2 + BC ^ 2) ^ 0.5 = (3 ^ 2 + 4 ^ 2) ^ 0.5 = 25 ^ 0.5 = 5 cm
2) Encuentre la longitud mediana por la fórmula: BD = AC / 2. Entonces BD = 5 cm.
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Una situación completamente diferente surge cuando la mediana se baja sobre las patas de un triángulo rectángulo. Deje que el triángulo ABC tenga un ángulo B en línea recta, y AE y CF las medianas se bajan a las patas correspondientes BC y AB. Aquí la longitud de estos segmentos se encuentra mediante las fórmulas: AE = (2 (AB ^ 2 + AC ^ 2) -BC ^ 2) ^ 0.5 / 2
CF = (2 (BC ^ 2 + AC ^ 2) -AB ^ 2) ^ 0.5 / 2 Ejemplo: Para un triángulo ABC, el ángulo ABC es recto. La longitud de la pierna AB = 8 cm, el ángulo BCA = 30 grados. Encuentre las longitudes de las medianas omitidas en las esquinas afiladas.
1) Encuentre la longitud de la hipotenusa AC, se puede obtener de la relación sin (BCA) = AB / AC. Por lo tanto, AC = AB / sin (BCA). AC = 8 / sin (30) = 8 / 0.5 = 16 cm.
2) Encuentra la longitud de la pata del hablante. El teorema de Pitágoras lo puede encontrar más fácilmente: AC = (AB ^ 2 + BC ^ 2) ^ 0.5, AC = (8 ^ 2 + 16 ^ 2) ^ 0.5 = (64 + 256) ^ 0.5 = (1024) ^ 0, 5 = 32 cm.
3) Encuentra las medianas de las fórmulas anteriores
AE = (2 (AB ^ 2 + AC ^ 2) -BC ^ 2) ^ 0.5 / 2 = (2 (8 ^ 2 + 32 ^ 2) -16 ^ 2) ^ 0.5 / 2 = (2 (64 + 1024) -256) ^ 0, 5 / 2 = 21, 91 cm.
CF = (2 (BC ^ 2 + AC ^ 2) -AB ^ 2) ^ 0.5 / 2 = (2 (16 ^ 2 + 32 ^ 2) -8 ^ 2) ^ 0.5 / 2 = (2 (256 + 1024) -64) ^ 0.5 / 2 = 24.97 cm.
Presta atencion
La mediana siempre divide el triángulo en otros dos triángulos, de igual área.
El punto de intersección de las tres medianas se llama centro de gravedad.
Consejos útiles
Muy a menudo, el significado de catetas e hipotenusas es más fácil de encontrar utilizando fórmulas trigonométricas.